ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രം

ചരിത്രം

എല്ലാ ലോക സംസ്ക്കാരങ്ങളുടെയും വളര്‍ച്ചയുടെ കൂടെ കുറച്ചു ഗണിതവും വളര്‍ന്നിട്ടുണ്ട്. ചിലപ്പോഴെല്ലാം, ഗണിതം ഒരു സംസ്ക്കാരത്തില്‍ നിന്നു മറ്റു സംസ്ക്കാരങ്ങളിലേയ്ക്കു പകര്‍ന്നു പോയിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോള്‍ ലോകമാസകലം ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരൊറ്റ ശാസ്ത്രശാഖയായി നിലകൊള്ളുന്നുവെങ്കിലും, അതിന്റെ പിന്നില്‍ ബൃഹത്തായ ചരിത്രമുണ്ട്. അതിന്റെ വേരുകള്‍ പുരാതന ഈജിപ്തിലും,ബാബിലോണിയയിലും, ഇന്ത്യയിലുമാണെങ്കിലും, ധൃതഗതിയിലുള്ള വളര്‍ച്ച പുരാതന ഗ്രീസിലായിരുന്നു. പുരാതന ഗ്രീസില്‍ ഗണിതം അറബിയിലേയ്ക്കു വിവര്‍ത്തനം ചെയ്യപ്പെടുകയും, അതേ സമയം തന്നെ പുരാതനഭാരത ഗണിതവും അറബിയിലേക്ക് വിവര്‍ത്തനം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. പിന്നീടു് ഈ അറിവുകള്‍ലാറ്റിന്‍ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുകയും പടിഞ്ഞാറന്‍ യൂറോപ്പില്‍എത്തുകയും ചെയ്തു. അനേകം വര്‍‍‍ഷങ്ങളിലൂടെ അതു ലോകത്തിന്റെ സമ്പത്താവുകയും ചെയ്തു.

ഗണിതസമ്പ്രദായങ്ങള്‍ ഗവേഷണപഠനങ്ങള്‍ക്ക് വളരെ പ്രയോജനപ്രദമാണെന്ന് തിരിച്ചറിഞ്ഞത് ധനതത്വശാസ്ത്രജ്ഞരാണ്.വില,ആവശ്യം,ലഭ്യത,ഉപയോഗം തുടങ്ങിയ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും ഗണിതീയപ്രതീകങ്ങളുപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിച്ചാല്‍ എളുപ്പവും സൂക്ഷ്മവുമാകുമെന്ന് കണ്ടെത്തി.അപ്രകാരം ഗണിതീയ ധനതത്വശാസ്ത്രം എന്നൊരു ശാസ്ത്രശാഖക്ക് രൂപം നല്‍കി.ധനതത്വശാസ്ത്രമേഖലയില്‍ ഗണിതത്തിന്റെ പ്രയോഗം വഴിയുണ്ടായ നേട്ടങ്ങള്‍ മറ്റെല്ലാ വിജ്ഞാനശാഖകളിലേക്കും ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രചരിക്കുവാനിടയാക്കി.ചുരുക്കത്തില്‍ ഇന്ന് എല്ലാ ശാഖകളും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അനുപ്രയുക്ത മേഖലകളായി മാറി.

മെസ്സൊപ്പൊട്ടേമിയയിലും ബാബിലോണിയയിലുമാണ് ചരിത്രത്തില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ വികസിച്ചിരുന്നത്.ചുട്ടെടുത്ത കളിമണ്‍ ഇഷ്ടികകളില്‍ രേഖപ്പെടുത്തി വെച്ചിരുന്ന ഇവരുടെ ശാസ്ത്രവിജ്ഞാനം വായിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്.ബി.സി 2100നു മുന്‍പ് എഴുതപ്പെട്ടിരിയ്ക്കുന്ന ഇവ കാണിയ്ക്കുന്നത് സ്ഥാനവില ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകള്‍ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്ന രീതി അന്ന് നിലവിലിരുന്നു എന്നതാണ്.അവര്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത് 60ന്റെ ഘാതങ്ങളായിരുന്നു.മരത്തൊലിയില്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയ കൈയെഴുത്തുഗ്രന്ഥം പൗരാണികഭാരതത്തിലെ ഗണിതവിജ്ഞാനത്തിന് സാക്ഷ്യം നല്‍കുന്നു.

ബാബിലോണിയയില്‍

ഇഷ്ടികകളില്‍ ക്യൂണിഫോം ലിപിയില്‍ എഴുതപ്പെട്ട വാണിജ്യവിഷയങ്ങളഅയിരുന്നു ബാബിലോണിയയില്‍ ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നത്.ഏകദേശം ബി.സി 3000നു ശേഷമുള്ള രേഖകള്‍ ആണ് കണ്ടുകിട്ടിയിരിയ്ക്കുന്നത്.ഇവരുടെ സംഖ്യാസമ്പ്രദായം60നെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരുന്നു.ഒരു വൃത്തത്തെ 360ഡിഗ്രി വീതമാക്കി ഇവര്‍ വിഭജിച്ചു.ഒരു ദിവസത്തെ 24മണിക്കൂറായും ഒരു മണിക്കൂറിനെ 60 മിനുട്ടായും ഒരു മിനുട്ടിനെ 60സെക്കന്റായും ഇവര്‍ വിഭജിച്ചിരുന്നു.1മുതല്‍ 9വരെ സംഖ്യകളെ അടയാളപ്പെടുത്തുന്ന രീതി ഇവര്‍ അവലംബിച്ചുപോന്നു.വ്യുല്‍ക്രമങ്ങളുടേയും വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടേയും വര്‍ഗ്ഗമൂലങ്ങളുടേയും ഘാതങ്ങളുടേയും കൂട്ടുപലിശകണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പട്ടികയുമെല്ലാം ഇവര്‍ നിര്‍മ്മിച്ചിരുന്നു.ബി.സി 700ന്റെ ആരംഭത്തില്‍ ‍ചന്ദ്രനെപ്പറ്റിയും ഗ്രഹങ്ങളെപ്പറ്റിയും പഠനം നടത്തി.ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച പഠനങ്ങളും ഇവര്‍ നടത്തിയിരുന്നു.

ഈജിപ്തില്‍‍

പാപ്പിറസ് രേഖകളില്‍ നിന്നും കിട്ടിയ വിവരമനുസരിച്ച് ബി.സി1800നോടടുത്ത് രചിയ്ക്കപ്പെട്ടവയാണിവ.ഇതില്‍ പ്രധാനമായും അങ്കഗണിതത്തിലേയും ക്ഷേത്രഗണിതത്തിലേയും പ്രശ്നങ്ങളാണ് കാണാവുന്നത്.10ന്റെ തുടര്‍ച്ചയായകൃതികളെ സൂചിപ്പിയ്ക്കാന്‍ 1,10,100 എന്നിങ്ങനെ പ്രത്യേക ഹൈറോഗ്ലിഫിക്സ് ലിപി ഉപയോഗിച്ചു.5നെ സൂചിപ്പിയ്ക്കാന്‍ 1 അഞ്ച് തവണയും300നെ സൂചിപ്പിയ്ക്കാന്‍ 100 മൂന്നുതവണയും ആണ് പ്രതീകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്.ക്ഷേത്രഗണിതത്തില്‍ വൃത്തം,ചതുരം,ത്രികോണം ഇവയുടെവിസ്തീര്‍ണ്ണം കണ്ടെത്താനും ചിലവയുടെ വ്യാപ്തങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താനും സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നു.

ഗ്രീസില്‍

ബാബിലോണിയയിലേയും ഈജിപ്തിലേയും ഗണിതത്തെ അവലംബിച്ചാണ് ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം വളര്‍ന്നത്.അമൂര്‍ത്ത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസമായിരുന്നു ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സംഭാവന.സ്വയംസിദ്ധപ്രമാണങ്ങളും തെളിവുകളുംനിരത്തി നിഗമനരീതിയാണ് ഇവര്‍ തുടര്‍ന്നുപോന്നത്.ഇക്കാലത്ത് ഥേല്‍സും പൈത്തഗോറസ്സും ആണ് പ്രമുഖര്‍.ഏതൊരു നാഗരികതയും നിഗമനരീതി അവലംബിച്ചിരുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിയ്ക്കപ്പെടേണ്ട ഒരു വസ്തുതയാണ്.

റോമില്‍

ഗണ്യമായ സംഭാവന റോമന്‍ സംഖ്യാസമ്പ്രദായം ആണ്.എന്നാല്‍ കണക്കുകൂട്ടുമ്പോള്‍ അനുഭവപ്പെടുന്ന ന്യൂനതകള്‍ ഇവയെ അപ്രധാനങ്ങളാക്കി.എന്നിരുന്നാലും, ഈ സമ്പ്രദായം ചിലയിടങ്ങില്‍ തുടര്‍ന്നുപോരുന്നു.

ഭാരതത്തില്‍

ബി.സി 6ആം നൂറ്റാണ്ടിനു മുന്‍പുതന്നെ ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രം വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചിരുന്നു.സുല്യസൂത്രങ്ങള്‍ എന്ന ക്ഷേത്രഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങള്‍ എഴുതപ്പെട്ടത് ഇക്കാലത്താണ്.ഋഗ്വേദസംഹിത,തൈത്തിരീയ ബ്രാഹ്മണം തുടങ്ങിയ അതിപുരാതനഗ്രന്ഥാങ്ങളില്‍ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളതായിരുന്നു ഇവ.പല ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളെക്കുറുച്ചും അവയുടെ നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചുമെല്ലാം ഇതില്‍ പ്രതിപാദിയ്ക്കുന്നു.വ്യത്യസ്തമായൊരു സമീപനത്തോടെ യൂക്ലിഡ് പില്‍ക്കാലത്ത് ഇവ വിശദീകരിയ്ക്കുന്നുണ്ട്.ജൈനമതത്തിന്റെ ആവിര്‍ഭാവവും ഗണിതപഠനത്തെ പ്രോത്സാഹിപ്പിച്ചു.ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രകാരന്മാര്‍ ഗണിതസാരസംഗ്രഹം എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ കര്‍ത്താവായ മഹാവീരന്‍ ശുദ്ധഗണിതത്തില്‍പ്രഗല്‍ഭനായിരുന്നു^{[അവലംബം ചേര്‍ക്കേണ്ടതുണ്ട്]}.

10 സ്ഥാനമൂല്യമുള്ള സമ്പ്രദായത്തിന് (ദശാംശസമ്പ്രദായം) പ്രാധാന്യം നല്‍കി.കൂടാതെ ഭാരതത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ സംഭാവന പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടുത്തമാണ്. ഭാരതത്തില്‍ നിന്ന് ഗണിതവിദ്യ അറബികളിലേക്കെത്തി അവിടെ നിന്നും പാശ്ചാത്യരാജ്യങ്ങളിലേക്കെത്തി എന്നും വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഭാരതത്തില്‍ നിന്നും ലഭിച്ച ഗണിതവിദ്യക്ക് അറബികള്‍ ഹിന്ദിസാറ്റ് എന്നായിരുന്നു വിളിച്ചിരുന്നത്^[3].

ഇസ്ലാമിക ഗണിതം

എ.ഡി 800ലാണ് ഭാരതീയഗണിതം ബാഗ്ദാദില്‍ എത്തിച്ചേരുന്നത്.തുടര്‍ന്ന് ഇവര്‍ ഭാരതീയ ഗണിതവും ഗ്രീക് ഗണിതവും അറബിയിലേയ്ക്ക് തര്‍ജ്ജമ ചെയ്തു..algebraഎന്ന പദം ഇവരുടെ സംഭാവനയാണ്.എ.ഡി900-1000 കാലഘട്ടത്തില്‍ ബീജഗണിത നിര്‍ദ്ധാരണങ്ങളിലും ബഹുപദങ്ങളിലും എല്ലാം ഇവര്‍ ഗവേഷണങ്ങള്‍ നടത്തി.കോണികങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ത്രിഘാതസമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്ത 12ആം നൂറ്റാണ്ടിലെ പ്രഗല്‍ഭനായ ഗണിതശാസ്ത്രകാരനായിരുന്നു ഒമര്‍ ഖയ്യാം.

എ.ഡി 5ആം നൂറ്റാണ്ടുമുതല്‍എ.ഡി16ആം നൂറ്റാണ്ടുവരെ

ഗ്രീസിലും അറബിരാജ്യങ്ങളിലും ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ ഉണ്ടായ പുരോഗതി പാശ്ചാത്യരാജ്യങ്ങളില്‍ ഉണര്‍വ്വേകി.മദ്ധ്യകാലഘട്ടങ്ങളില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം ജ്യോതിഷത്തില്‍ പ്രയോഗിയ്ക്കാനാണ് ശ്രദ്ധിച്ചത്. ഇറ്റാലിയന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ ലിയോനാര്‍ഡോ ഫിബനോസി,ലൂക പസോളി എന്നിവര്‍ വ്യാപാരകാര്യങ്ങളില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രയോഗിക്കാന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചു.അറബിക് സംഖ്യകളും അറബി-ഹിന്ദു ദശാംശസമ്പ്രദായങ്ങളുമെല്ലാം ഫിബനോസി പാശ്ചാത്യലോകത്തിന് പരിചയപ്പെടുത്തി.അനന്തശ്രേണികള്‍ ഇക്കാലത്താണ് പഠനങ്ങള്‍ക്ക് വിധേയമാകുന്നത്.രണ്ടാം കൃതിയിലോ മൂന്നാം കൃതിയിലോ ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളെ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കുകയും തുടര്‍ന്ന് സമ്മിശ്രസംഖ്യകള്‍ രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു.കൂടുതല്‍ സൂക്ഷ്മമായി രേഖപ്പെടുത്താനും മനസ്സിലാക്കുന്നതിനും ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങിയത് 16ആം നൂറ്റാണ്ടിലാണ്.+,-,X,=,>,< ഇവയായിരുന്നു ചിഹ്നങ്ങള്‍.സമവാക്യങ്ങളില്‍ ചരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിയ്ക്കാന്‍ തുടങ്ങി.

എ.ഡി 16ആംനൂറ്റാണ്ടുമുതല്‍ എ.ഡി19ആം നൂറ്റാണ്ടുവരെ

ശാസ്ത്രവിപ്ലവം നടന്ന കാലഘട്ടമാണ് 17ആം നൂറ്റാണ്ട്.ഇക്കാലത്ത് ന്യൂട്ടണ്‍,കെപ്ലര്‍,കോപ്പര്‍ നിക്കസ്,ഗലീലിയൊ തുടങ്ങിയവര്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി തങ്ങളുടെ പഠനങ്ങള്‍ നടത്തി.ഗലീലിയോ വ്യാഴത്തിന്റെ ഉപഗ്രഹങ്ങളെ കണ്ടെത്തി.റ്റൈക്കോ ബ്രാഹെ ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങള്‍ ഗണിതദത്തങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അവതരിപ്പിച്ചു.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായിരുന്ന ജോഹന്നാസ് കെപ്ലര്‍ ഈ ദത്തങ്ങളുപയോഗിച്ച് പഠനം നടത്തുകയും ഗ്രഹചലനങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള ഗണിതീയവാക്യങ്ങള്‍ രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു.റെനെ ദെക്കര്‍ത്തേയാണ് പരിക്രമണപഥങ്ങളെയെല്ലാം നിര്‍ദ്ദേശാങ്കങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ ചിത്രീകരിച്ചത്.ന്യൂട്ടണ്‍ കലനശാസ്ത്രത്തിന് ആരംഭം കുറിയ്ക്കുകയും ലെബ്‌നിസ് പോഷിപ്പിയ്ക്കുകയും ചെയ്തു.

ഗണിതശാസ്ത്രശാഖകള്‍

അങ്കഗണിതം (Arithmethics)
ബീജഗണിതം (Algebra)
ക്ഷേത്രഗണിതം (ജ്യാമിതി അഥവാ രേഖാഗണിതം) (Geometry)
സ്ഥിതിഗണിതം (Statistics)
ത്രികോണമിതി (Trignometry)
കലനം (Calculus)

ഗണിതശാസ്ത്രശാഖകളുടെ ആവിര്‍ഭാവം

മദ്ധ്യശതകങ്ങള്‍ വരെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് 3 ശാഖകളായിരുന്നു ഉണ്ടായിരുന്നത്.ക്ഷേത്രഗണിതം,ബീജഗണിതം,അങ്കഗണിതം എന്നിങ്ങനെ.ക്ഷേത്രഗണിതം ഈജിപ്തിലായിരുന്നു വളര്‍ന്നത്. അങ്കഗണിതം ഭാരതത്തിലും.17ആം നൂറ്റാണ്ടില്‍ റെനെ ദെക്കാര്‍ത്തെ ക്ഷേത്രഗണിതത്തെ ബീജഗണിതവുമായി യോജിപ്പിച്ച് വിശ്ലേഷക ജ്യാമിതിയ്ക്ക്(Analytical geometry) രൂപം നല്‍കി.അധികം താമസിയാതെ സമ്മിശ്ര വിശ്ലേഷണം(Complex analysis) എന്ന ഗണിതശാഖ ബീജഗണിതത്തിന്റെ അതിപ്രധാനശാഖയായി വളര്‍ന്നുവന്നു.ചൂതുകളിക്കാരനായ ഷെവ്ലിയര്‍ ദ് മേരെ തനിയ്ക്ക് കളിയ്ക്കിടയില്‍ അനുഭവപ്പെട്ട വിചിത്രപ്രതിഭാസങ്ങള്‍ക്ക് വ്യാഖ്യാനം തേടി ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പാസ്കലിനെ സമീപിച്ചത്സംഭവ്യതാശാസ്ത്രത്തിന്(Probability theory) വഴിയൊരുക്കി.ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഇതേത്തുടര്‍ന്ന് ഈ ശാഖയുടെ അനുപ്രയുക്തശാഖയായിസാംഖ്യികം(Statistics) രൂപപ്പെട്ടു.

പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കലനശാസ്ത്രം(Calculus) എന്ന ശാഖയുടെ ആവിര്‍ഭവം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ നാഴികക്കല്ലാണ്.സര്‍ ഐസക് ന്യൂട്ടണും ലെബ്നീസും ചേര്‍ന്ന് രൂപം നല്‍കിയ ഈ ശാഖയെ ബെര്‍ണൗലി വികസിപ്പിച്ചു.പത്തൊന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ മദ്ധ്യകാലഘട്ടത്തോടടുത്ത് ആവിര്‍ഭവിച്ച പ്രധാനപ്പെട്ട ഒന്ന് ഗണിതാപഗ്രഥനം(Mathematical analysis) ആയിരുന്നു.യൂക്ലിഡേതര ക്ഷേത്രഗണിതം(Non-Eucledian geometry) ,ആധുനിക ബീജഗണിതം(Modern algebra) ഇവ രംഗപ്രവേശം ചെയ്തതും ഇക്കാലത്താണ്.

പ്രയുക്ത,ശുദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രം

പ്രയുക്തഗണിതശാസ്ത്രത്തേക്കാള്‍ ഗഹനം ശുദ്ധഗണിതശാസ്ത്രംആണ്.ശുദ്ധഗണിതശാസ്ത്രം‍ സംഖ്യകള്‍ക്ക് പകരം പ്രതീകങ്ങളുപയോഗിച്ച്സിദ്ധാന്തങ്ങളും സര്‍വ്വസാധാരണയായി അംഗീകരിയ്ക്കപ്പെടുന്ന രീതിയില്‍ അവയുടെ തെളിവുകളും ആണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്.ജി.എച്ച്.ഹാര്‍ഡി ഈ മേഖലയില്‍ പ്രധാനിയാണ്.1800നോടടുത്താണ് ഈ മേഖലയില്‍ പുരോഗതിയുണ്ടായത്.തെളിവുകളും വിശ്ലേഷണവുമെല്ലാം ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങിയ കാലഘട്ടമായിരുന്നു ഇത്.തെളിവുകള്‍ ഫലത്തോടൊപ്പമോ അതിനേക്കാളുപരിയായോ ശ്രദ്ധിയ്ക്കപ്പെടാന്‍ തുടങ്ങി.തെളിവുകളുടെ പ്രാധാന്യം അവയുടെ സംക്ഷിപ്തവും ലാളിത്യത്തിലും അടങ്ങിയിരിയ്ക്കുന്നു.ബെര്‍ണാര്‍ഡ് റസ്സല്‍ ഇതേക്കുറിച്ച് പരാമര്‍ശിയ്ക്കുന്നുണ്ട്.

പേരുസൂചിപ്പിയ്ക്കും പോലെത്തന്നെ പ്രായോഗികതലത്തിലാണ് പ്രയുക്തഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പ്രാധാന്യം.ധനതത്വശാസ്ത്രം,ഭൗതികശാസ്ത്രംതുടങ്ങിയവയിലെല്ലാം ഈ ശാഖ പ്രയോഗിയ്ക്കുന്നുണ്ട്.പ്രയുക്തഗണിതശാസ്ത്രമാണ് ശുദ്ധഗണിതശാസ്ത്രത്തേക്കാള്‍ പഴക്കം അവകാശപ്പെടുന്നത്.മറ്റുശാഖകളോടൊപ്പം വികസിച്ചുവന്ന ഈ ശാഖ അവയെ കൂടുതല്‍ അടിസ്ഥാനമാക്കാനാണ് ഉപയോഗിച്ചത്.